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  • 2015届高考理科数学立体几何一轮练习题

    试题作者:本站    试题来源:本站整理    试题栏目:数学试题    收藏本页
    第1课时 立体几何的结构及其三视图和直观图
    1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
    2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.
    3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
    4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等没有严格要求).
              [对应学生用书P109]
    【梳理自测】
    一、空间几何体的结构特征
    1.(教材改编)下列说法正确的是(  )
    A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
    B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
    C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
    D.棱台各侧棱的延长线交于一点
    2.如图是一个正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(  )
     
     
    答案:1.D 2.B
    ◆以上题目主要考查了以下内容:
    多面体 棱柱 棱柱的侧棱都平行且相等,上下底面是平行且全等的多边形.
     棱锥 棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形.
     棱台 棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上下底面是平行且相似的多边形.
    旋转体 圆柱 圆柱可由矩形绕其任意一边所在直线旋转得到.
     圆锥 圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到.
     圆台 圆台可由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到.
     球 球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.
    二、三视图
    1.有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一个(  )
     
    A.棱台         B.棱锥
    C.棱柱  D.都不对
    2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是(  )
    A.球  B.三棱锥
    C.正方体  D.圆柱
    答案:1.A 2.D
    ◆以上题目主要考查了以下内容:
    名称 几何体的三视图有:正视图、侧视图、俯视图
    画法 1.画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线画成虚线. 2.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、左方、正上方观察几何体得到的正投影图.
    规则 1.画法规则:长对正、高平齐、宽相等. 2.摆放规则:侧视图在正视图的右侧,俯视图在正视图的下方.
    三、直观图及投影
    1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是(  )
     
    2.如图,过BC的平面截去长方体的一部分,所得的几何体________棱柱(填“是”或“不是”).
    答案:1.A 2.是
    ◆以上题目主要考查了以下内容:
    直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°或135°,z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴,平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中不变,平行于y轴的线段长度在直观图中等于原来的一半.
    投影 1.平行投影:平行投影的投影线互相平行. 2.中心投影:中心投影的投影线相交于一点.
    【指点迷津】 
    1.一个程序
    由三视图还原几何体按下面的程序进行
     定底面 根据俯视图确定定棱及侧面根据正视图确定几何体的
    侧棱与侧面特征,调整实线、
    虚线对应棱的位置 定形状 确定几何体的形状
    2.三个“变”与“不变”
    斜二测画直观图时
    “三变”坐标轴的夹角改变,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半,图形改变.
    “三不变”平行性不改变,与x、z轴平行的线段的长度不改变,相对位置不改变.
     
              [对应学生用书P110]
    考向一 空间几何体的结构特征
      给出下列四个命题:
    ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
    ②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;
    ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
    ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
    其中正确命题的个数是(  )
    A.0          B.1
    C.2  D.3
    【审题视点】 根据柱、锥、台几何体的结构特征判定.
     
    【典例精讲】 ①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②正确;③错误.当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.
    【答案】 B
    【类题通法】 (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.
    (2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.
     
    1.给出下列四个命题:
    ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;
    ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;
    ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;
    ④若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.
    其中不正确的命题的个数是________个.
    解析:认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析,故①③都不准确,②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明,故也不正确,④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故④也不正确.
    答案:4
    考向二 空间几何体的三视图
      (2014•陕西省高三质检)如图是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图,其中小立方体中的数字表示相应位置的小立方体的个数,则该几何体的左视图为(  )
     
    【审题视点】 从左侧看这个几何体中小立方体组成的几何体的高度.
    【典例精讲】 由俯视图知左视图从左到右最高的小立方体个数分别为2,3,1,选C. 
    【答案】 C
    【类题通法】 (1)由实物图画三视图或判断选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则;
    (2)由三视图还原实物图,这一题型综合性较强,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的;其次,要遵循以下三步:①看视图,明关系;②分部分,想整体;③综合起来,定整体.
     
    2.(2014•山西高考训练)某几何体的三视图均为直角三角形,如图所示,则围成该几何体的各面中,直角三角形的个数为(  )
    A.1          B.2
    C.3  D.4
    解析:选D.依题意得,该几何体是一个底面为直角三角形、一条侧棱垂直于底面的三棱锥,其四个面均为直角三角形,选D.
    考向三 空间几何体的直观图
      已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(  )
    A.34a2           B.38a2
    C.68a2  D.616a2
    【审题视点】 画出正三角形△ABC的平面直观图
    △A′B′C′,求△A′B′C′的高即可.
    【典例精讲】 先画出正三角形ABC,然后再画出它的水平放置的直观图,如图所示,由斜二测画法规则知B′C′=a,O′A′=34a.
    过A′作A′M⊥x′轴,垂足为M,则A′M=O′A′•sin 45°=34a×22=68a.
    ∴S△A′B′C′=12B′C′•A′M
    =12a×68a=616a2.
     
    【答案】 D
    【类题通法】 对于直观图,除了了解斜二测画法的规则外,还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′=24S,能进行相关问题的计算.
     
    3.如图所示,四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图,在斜二测直观图中,四边形A′B′C′D′是一直角梯形,A′B′∥C′D′,A′D′⊥C′D′,且B′C′与y′轴平行,若A′B′=6,D′C′=4,A′D′=2.求这个平面图形的实际面积.
    解析:根据斜二测直观图画法规则可知该平面图形是直角梯形,且AB=6,CD=4保持不变.
    由于C′B′=2A′D′=22.所以CB=42.
    故平面图形的实际面积为12×(6+4)×42=202.
     
              [对应学生用书P111]
     
              忽视几何体的放置与特征致误
      在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(  )
     
    【正解】 由正视图和俯视图可以推测几何体为半圆锥和三棱锥的组合体(如图所示),且顶点在底面的射影恰是底面半圆的圆心,可知侧视图为等腰三角形,且轮廓线为实线,故选D. 
    【答案】 D
    【易错点】 (1)根据正视图和俯视图确定原几何体的形状时出现错误,误把半圆锥看成半圆柱,不能准确判断出几何体的形状而误选A.
    (2)对实线与虚线的画法规则不明确而误选C.
    【警示】 1.首先确定几何体,面对读者是怎么放置的.
    2.要分清三视图中的虚线是被哪部分挡住的.
    3.要明确三视图中三角形的高度是不是几何体的高度.
     
    1.(2013•高考四川卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是(  )
     
     
    解析:选D.先观察俯视图,再结合主视图和侧视图还原为空间几何体.
    由俯视图是圆环可排除A,B,C,进一步将已知三视图还原为几何体,可得选项D.
    2.(2013•高考湖南卷)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于(  )
    A.32           B.1
    C.2+12  D.2
    解析:选D.根据正方体的俯视图及侧视图特征想象出其正视图后求面积.
    由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,因此该几何体的正视图是一个长为2,宽为1的矩形,其面积为2.
    3.(2012•高考陕西卷)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的左视图为(  )
     
     
    解析:选B.还原正方体后,将D1,D,A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B,且为实线,B1C被遮挡应为虚线.
    4.(2012•高考湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(  )
     
    解析:选C.若为C选项,则主视图为:
     
    故不可能是C选项.
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