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  • 2014年中考数学解直角三角形试题解析汇编

    试题作者:本站    试题来源:本站整理    试题栏目:数学试题    收藏本页
    解直角三角形
    一、选择题
    1. (2014•浙江杭州,第3题,3分)在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC=(  )
      A. 3sin40° B. 3sin50° C. 3tan40° D. 3tan50°
    考点: 解直角三角形
    分析: 利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数,然后根据正切函数的定义即可求解.
    解答: 解:∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°,
    又∵tanB= ,
    ∴AC=BC•tanB=3tan50°.
    故选D.
    点评: 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系.
     
    2. (2014•浙江杭州,第10题,3分)已知AD∥BC,AB⊥AD,点E,点F分别在射线AD,射线BC上.若点E与点B关于AC对称,点E与点F关于BD对称,AC与BD相交于点G,则(  )
     
      A. 1+tan∠ADB=  B. 2BC=5CF C. ∠AEB+22°=∠DEF D. 4cos∠AGB=
    考点: 轴对称的性质;解直角三角形.
    分析: 连接CE,设EF与BD相交于点O,根据轴对称性可得AB=AE,并设为1,利用勾股定理列式求出BE,再根据翻折的性质可得DE=BF=BE,再求出BC=1,然后对各选项分析判断利用排除法求解.
    解答: 解:如图,连接CE,设EF与BD相交于点O,
    由轴对称性得,AB=AE,设为1,
    则BE= = ,
    ∵点E与点F关于BD对称,
    ∴DE=BF=BE= ,
    ∴AD=1+ ,
    ∵AD∥BC,AB⊥AD,AB=AE,
    ∴四边形ABCE是正方形,
    ∴BC=AB=1,
    1+tan∠ADB=1+ =1+ ﹣1= ,故A选项结论正确;
    CF=BF﹣BC= ﹣1,
    ∴2BC=2×1=2,
    5CF=5( ﹣1),
    ∴2BC≠5CF,故B选项结论错误;
    ∠AEB+22°=45°+22°=67°,
    在Rt△ABD中,BD= = = ,
    sin∠DEF= = = ,
    ∴∠DEF≠67°,故C选项结论错误;
    由勾股定理得,OE2=( )2﹣( )2= ,
    ∴OE= ,
    ∵∠EBG+∠AGB=90°,
    ∠EGB+∠BEF=90°,
    ∴∠AGB=∠BEF,
    又∵∠BEF=∠DEF,
    ∴4cos∠AGB= = = ,故D选项结论错误.
    故选A.
     
    点评: 本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,等腰直角三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,熟记性质是解题的关键,设出边长为1可使求解过程更容易理解.
    3. (2014•江苏苏州,第9题3分)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为(  )
     
      A. 4km B. 2 km C. 2 km D. ( +1)km
    考点: 解直角三角形的应用-方向角问题
    分析: 过点A作AD⊥OB于D.先解Rt△AOD,得出AD=OA=2,再由△ABD是等腰直角三角形,得出BD=AD=2,则AB= AD=2 .
    解答: 解:如图,过点A作AD⊥OB于D.
    在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4,
    ∴AD=OA=2.
    在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°,
    ∴BD=AD=2,
    ∴AB= AD=2 .
    即该船航行的距离(即AB的长)为2 km.
    故选C.
     
    点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
    4. (2014•山东临沂,第13题3分)如图,在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处,若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行,航行半小时后到达C处,在C处观测到B在C的北偏东60°方向上,则B、C之间的距离为(  )
     
      A. 20海里 B. 10 海里 C. 20 海里 D. 30海里
    考点: 解直角三角形的应用-方向角问题
    分析: 如图,根据题意易求△ABC是等腰直角三角形,通过解该直角三角形来求BC的长度.
    解答: 解:如图,∵∠ABE=15°,∠DAB=∠ABE,
    ∴∠DAB=15°,
    ∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°.
    又∵∠FCB=60°,∠CBE=∠FCB,∠CBA+∠ABE=∠CBE,
    ∴∠CBA=45°.
    ∴在直角△ABC中,sin∠ABC= = = ,
    ∴BC=20 海里.
    故选:C.
     
    点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题.解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形.
    5.(2014•四川凉山州,第5题,4分)如图,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1: ,堤高BC=10m,则坡面AB的长度是(  )
     
      A. 15m B. 20 m C. 20m D. 10 m
     
    考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题
    分析: 在Rt△ABC中,已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值,通过解直角三角形即可求出斜面AB的长.
    解答: 解:Rt△ABC中,BC=10m,tanA=1: ;
    ∴AC=BC÷tanA=10 m,
    ∴AB= =20m.
    故选C.
    点评: 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力,熟练运用勾股定理是解答本题的关键.
    二、填空题
    1. (2014•上海,第12题4分)已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1:2.4,如果它把物体送到离地面10米高的地方,那么物体所经过的路程为 26 米.
    考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题
    专题: 应用题.
    分析: 首先根据题意画出图形,根据坡度的定义,由勾股定理即可求得答案.
    解答: 解:如图,由题意得:斜坡AB的坡度:i=1:2.4,AE=10米,AE⊥BD,
    ∵i= = ,
    ∴BE=24米,
    ∴在Rt△ABE中,AB= =26(米).
    故答案为:26.
     
    点评: 此题考查了坡度坡角问题.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用,注意理解坡度的定义.
    2. (2014•山东潍坊,第17题3分)如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和
    点F处分别竖立高是2米的CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上,则建筑物的高是     米.
     
    考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
    分析:根据AB∥CD∥FE,可得△ABG∽△CDG,△ABH∽△EFH,可得CD:AB=DG:BG, EF:AB=FH:BH,即可求得AB的值,即可解题.
    解答:∵△ABG∽△CDG,∴CD:AB=DG:BG  ∵CD=DG=2, AB=BG
    ∵△ABH∽△EFH,∴EF:AB=FH:BH,∵EF=2,FH=4  ∴BH=2AB   ∴BH=2BG=2GH
    ∵GH=DH-DG=DF=FH-DG=52-2+4=54,∴AB=BG=GH=54.
    故答案为:54
    点评:本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质,考查了平行线定理,本题中列出关于GH、BH的关系式并求解是解题的关键.
    3.(2014•湖南怀化,第13题,3分)如图,小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米,此时,他离地面高度为h=2米,则这个土坡的坡角∠A= 30 °.
     
    考点: 解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
    分析: 直接利用正弦函数的定义求解即可.
    解答: 解:由题意得:AB=4米,BC=2米,
    在Rt△ABC中,sinA= ==,
    故∠A=30°,
    故答案为:30.
     
    点评: 本题考查了解直角三角形的应用,牢记正弦函数的定义是解答本题的关键.
    落千丈
    4.(2014•四川内江,第23题,6分)如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC⊥OB于点C.若OC=2,则PC的长是   .
     
    考点: 含30度角的直角三角形;勾股定理;矩形的判定与性质.
    专题: 计算题.
    分析: 延长CP,与OA交于点Q,过P作PD⊥OA,利用角平分线定理得到PD=PC,在直角三角形OQC中,利用锐角三角函数定义求出QC的长,在直角三角形QDP中,利用锐角三角函数定义表示出PQ,由QP+PC=QC,求出PC的长即可.
    解答: 解:延长CP,与OA交于点Q,过P作PD⊥OA,
    ∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PC⊥OB,
    ∴PD=PC,
    在Rt△QOC中,∠AOB=30°,OC=2,
    ∴QC=OCtan30°=2× = ,∠APD=30°,
    在Rt△QPD中,cos30°= = ,即PQ= DP= PC,
    ∴QC=PQ+PC,即 PC+PC= ,
    解得:PC= .
    故答案为:
     
    点评: 此题考查了含30度直角三角形的性质,锐角三角函数定义,熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键.
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