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    2014白鹭洲中学高考数学适应性考试卷(含答案理科)
    一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
    1.复数 在复平面中所对应的点到原点的距离为
    (A)         (B)          (C)1       (D) 
    2.命题“对任意 ,均有 ”的否定为(   ).
    (A)对任意 ,均有      (B)对任意 ,均有
    (C)存在 ,使得        (D)存在 ,使得
    3.已知 , 满足约束条件 ,若 的最小值为 ,则 (    )
    A.  B.  C.  D.
    4.设a,b∈R,则“a>0,b>0,,是“ ”的
      A.充分不必要条件  B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    5.函数 的图象大致是(     )
     
    6.设函数 ,其中 , 为如图所示的程序框图中输出的结果,则 的展开式中常数项是 (    )
    A.       B.      C.        D.
    7已知 中,角 的对边是 ,且 成等比数列,则函数 的取值范围是(  )
    A.             B.           C.            D. 
    8.矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点E、F分别为BC、CD边上动点,且满足EF=1,则 的最大值为(  )
     A.3     B. 4     C.5+     D.5-
    9..已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为   (      )
    A.2+2            B.5+1            C.3+1          D.2+1
    10.一个含有10项的数列 满足: ,则符合这样条件的数列 有(  )个。
    A.30     B.  35     C.   36      D.  40
    二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.
    11.某工厂对一批产品进行了抽样检测,右图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分散直方图,其中产品净重的范围是 ,样本数据分组为 .已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是_______
     
     
     
     
     

    12.几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3.
    13. 如果随机变量 的概率分布列由下表给出: 则 =        

    14.若 对任意的 都成立,则 的最小值为    
    三、选做题:请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按所做的第一题评阅记分,本题共5分.
    15、(请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题5分)
    (1)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,设圆 ( 为参数)上的点到直线 的距离为d,则d的最大值是__________。
    (2)(不等式选做题)若存在 ,使 成立,则实数 的取值范围是_________。
    三、解答题:本大题共6小题,共75分.
    16.(本小题满分12分)
    已知函数 的部分图象如图所示.
    (I)求函数 的解析式,并写出  的单调减区间;
    (II)已知 的内角分别是A,B,C,若 的值.
    17. (本小题12分)
    如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD, ,AB=AD=2CD,侧面 底面ABCD,且 为等腰直角三角形, ,M为AP的中点.
     (I)求证:        
     (II)求证:DM//平面PCB;
     (III)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
    18. (本小题12分) 在一次数学测验后,班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计,如下表:(单位:人)
     几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计
    男同学 12 4 6 22
    女同学 0 8 12 20
    合计 12 12 18 42
    (Ⅰ)在统计结果中,如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类,把《不等式选讲》称为代数类,我们可以得到如下2×2列联表:(单位:人)
     几何类 代数类 总计
    男同学 16 6 22
    女同学 8 12 20
    总计 24 18 42
    据此判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关?
    (Ⅱ)在原统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈.已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做《不等式选讲》的同学中.
    ①求在这名班级学委被选中的条件下,两名数学科代表也被选中的概率;
    ②记抽到数学科代表的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).
    下面临界值表仅供参考:
     
    0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
    k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
    参考公式: .
    19.(本题满分12分)
        设数 满足: .
        (I)求证:数列 是等比数列;
        (Ⅱ)若 ,且对任意的正整数n,都有 ,求实数t的取值范围.
    20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系中,已知椭圆 的左右顶点为 、 ,直线 、 分别过点 、 且与 轴垂直,点 和 均在椭圆上,其中 为椭圆 的离心率。
    (1)求椭圆 的方程;
    (2)已知点P是椭圆 上不同于点 、 的任意一点,直线AP与 交于点D,直线BP与 于点E,线段OD和OE分别与椭圆交于点R,G。
    (ⅰ)是否存在定圆与直线 相切?若存在,求出该定圆的方程;若不存在,请说明理由;
    ⅱ)求证: 为定值。
                                                             
                                                             
    21. (本题满分14分)设函数 ,其中 .
    (Ⅰ)如果 是函数 的一个极值点,求实数a的值及 的最大值;
    (Ⅱ)求实数a的值,使得函数f(x)同时具备如下的两个性质:
             ① 对于任意实数 且 , 恒成立;
    ② 对于任意实数 且 ,  恒成立.

    2014年白鹭洲中学高三适应性考试数学理科答案
    一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    B C B D A B B B D C
    第II卷(非选择题  共100分)
    二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分. )
    11、60     12、6+     13、     14、    15、(1) (2)
     
    7. 解:由余弦定理得: ,
    所以:
    9根据题意可知抛物线的焦点 ,准线方程 ,于是由AF⊥x轴并结合抛物线定义可得 ,对于双曲线,设 是其左焦点,根据勾股定理可得 ,由定义 ,所以 ,即 .
    10. 在网格中,由(1,0)点走9步到达(10,5)点,每步需向右移1个单位,同时向上(下)移1个单位,故其中有且只有2步向下移1个单位,不同的走法有 ,选C
    四、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    (16)解:(Ⅰ)由图象最高点得 ,    
    由周期 得 所以 
    当 时, ,可得
    因为 所以 故       
    由图像可得 的单调递减区间为        ………6分
    (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,   ,又 , 
             
                                      
                     
                        
      .             ……12分
    17:(I)取 的中点 ,连结 .
      ,      …………2分
      ,且 ,
      是正三角形, ,
    又 ,
      平面 .
      .           …………………4分
       (II)取 的中点 ,连结 .
      分别为 的中点,
      ,且 .
     ∵四边形 是直角梯形, 且 ,
      且 .                 …………………………6分
     ∴四边形 是平行四边形.
      .
      平面 , 平面
      平面 .                      …………………………8分
       (II) ∵侧面  底面 ,
     又 ,       底面 .
      .
    ∴直线 两两互相垂直,
    故以 为原点,直线 所在直线为 轴、 轴和 轴建立如图所示的空间直角坐标系 .
     设 ,则可求得
      ,
      .
      .
     设 是平面 的法向量,则 且 .
       
     取 ,得 .      …………6分
      是 的中点,  .
      .
      .
      .
      平面 ,
      平面 . ………………………8分
       (III)又 平面 的法向量 ,
     设平面 与平面 所成锐二面角为 ,
     则 ,…………10分
      平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .…………12分
    18(Ⅰ)由表中数据得K2的观测值k 42×(16×12-8×6)224×18×20×22 25255≈4.582>3.841.…2分
    所以,据此统计可在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关.   ……4分
    (Ⅱ)由题可知在“不等式选讲”的18位同学中,要选取3位同学.
    ①方法一:令事件A为“这名班级学委被抽到”;事件B为“两名数学科代表被抽到”,则P(A∩B)  ,P(A)  .
    所以P(B|A) P(A∩B)P(A)   217×16  1136.                                 ……7分
    方法二:令事件C为“在这名学委被抽到的条件下,两名数学科代表也被抽到”,
    则P(C)   217×16 1136.
    ②由题知X的可能值为0,1,2.
    依题意P(X 0)   3551;P(X 1)   517;P(X 2)   151.       
    从而X的分布列为
    X 0 1 2
    P 3551
    517
    151
                                                                    ……10分
    于是E(X) 0×3551+1×517+2×151 1751 13.               ……12分
    19
     
    20.(1) (过程略)…………  2分
    (2)(ⅰ)存在定圆 与 相切,证明如下。
    设点 ,则 。………… 3分
    直线 的斜率为 ,直线 的方程为 ,令 ,得 点坐标为 。…………  4分
    直线BE的斜率为 ,直线BE的方程为 ,令 ,得 点坐标为 。…………  5分
    由此可得直线 的方程为
    原点 到直线 的距离
     
     
    所以定圆 与 相切。…………  8分
    (ⅱ)因为
    所以 ,…………  9分
    设 的斜率是 ,则由 与 联立得到 ,
    所以 。………… 11分
    用 代替 ,得 ,………… 12分
    所以 。…………  13分
    21.
    (本题满分14分)
    解:(Ⅰ)函数 的定义域是 ,对 求导可得
                          ……………2分
    依题意, ,解得 .     ……………3分
    此时, , .
    因为 ,令 ,可得 ;令 ,可得 .
    所以,函数 在 上单调递增,在 上单调递减. ……………5分
    因此,当 时, 取得最大值 .       ……………6分
    (Ⅱ)令
     
              ……………8分
    由(Ⅰ)中的结论可知, 对任意 恒成立,即
        (*)恒成立.                    ……………9分
    (ⅰ)如果 ,且 ,则 .
    根据(*)可得 , .
    若 满足性质①,则 恒成立,
    于是 对任意 且 恒成立,所以 .…………11分
    (ⅱ)如果 且 ,则 .根据(*)可得
           
    则 .若 满足性质②,则
     恒成立.
    于是 对任意 且 恒成立,所以 .…13分
    综合(ⅰ)(ⅱ)可得, .…………14分

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